- plaudelei -

問題はこちら。

「白と黒の碁石がそれぞれ偶数個（何個でもいい）あって、これを混ぜて適当な順で円状に並べて一本の直線で半々に分ける時、どういう順に並べても白と黒の碁石もそれぞれが半々になるような分け方があることを示せ」

じゃあ、解答編。
（一応わかりやすいように、具体的な数字を使って説明します。一般的に証明したい場合は、文字を使って数字を表せば出来ます。）

まず、仮に白が100個、黒が200個あったとします。これを適当に並べて、さらに適当な直線を引いて150個ずつに分けます。この時、片っぽのグループAには白が60個、もう片方のグループBには40個となるような分け方になっていたとします。

次に、さっき引いた直線を碁石一個分ずらします。
すると、グループAに入っている白い碁石の数は

・白が一個抜けて、白が一個加わる→変化なし
・白が一個抜けて、黒が一個加わる→白の数が１減る
・黒が一個抜けて、白が一個加わる→白の数が１増える
・黒が一個抜けて、黒が一個加わる→変化なし

のどれかです。つまり、直線を引く場所を碁石一つずらしたときにグループA（グループB）に含まれる白い碁石の数は、一個増減するか、変わらないか、です。

ところで、じゃあこの直線をずらしていくのを同じ方向に150回繰り返すとどうなるでしょう？
碁石の位置を変えずに見れば、引いてある直線は一番最初に引いた直線と同じ位置にあります。
ところが、直線が半周した結果、グループの左右は入れ替わっています。

つまり、この状況ではグループAに白い碁石が40個、グループBには60個含まれてることになります。

わかりますか？

最初グループAには白い碁石が60個含まれていて、直線をずらしていくとグループAに含まれる白い碁石の数は、増減しても一個ずつしか増減しないんです。それなのに、半周したら50個を通りすぎて40個まで減っちゃうんです。
つまり、最初の状態から、引く直線を半周させるまでに、必ず上手く半々に分ける直線が存在するんです。

こんな感じで、必ずうまく半々にわける直線があることが示せました( ﾟДﾟﾉﾉ"☆ﾊﾟﾁﾊﾟﾁﾊﾟﾁﾊﾟﾁ